Harmonic Oscillator

 

 

이번 포스팅에서는 Harmonic oscillator (HO)를 알아보려고 한다.

HO는 고전 물리학에서 다음과 같다.

이러한 Spring에서 가지는 힘은 Hook's law를 따라서 다음처럼 표현된다.

$$F = -kx = -\nabla V(x)$$

Potential energy는 힘을 공간에 대하여 적분한 결과이기 때문에 다음처럼 표현된다.

$$V(x) = \frac{1}{2}kx^2$$

따라서, HO system에서 Hamiltonian은 다음과 같이 쓰여진다.

$$H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2$$

 

양자역학에서 HO system이 가지는 의미는 꽤 크다고 할 수 있다.

첫 번째로, Infinite potential well처럼 Analytic solution을 가지는 system이다.

두 번째로, 연산자를 통해 해를 이끌어내는 연습을 할 수 있다.

마지막으로, potential 함수가  이차함수의 형태를 가진다는 것이다.

 

1번과 2번은 글을 전개하며 연습할 것이다.

3번째의 의미에 대하여 설명하려고 한다.

모든 함수는 Taylor expansion을 통해서 표현할 수 있다.

그렇다면 local minimum (\(x_0\))을 가지는 임의의 potential 함수 \(V(x)\)는 다음처럼 확장될 수 있다.

$$V(x) = V(x_0)+\frac{dV}{dx}|_{x_0}(x-x_0)+\frac{1}{2!} \ \frac{d^2V}{dx^2}|_{x_0}(x-x_0)^2+...$$

여기서 local minimum에서 함수 값을 0으로 설정하면 자연스럽게 다음처럼 근사가 가능하다.

$$V(x) \approx \frac{1}{2!} \ \frac{d^2V}{dx^2}|_{x_0}(x-x_0)^2$$

\(V(x)\)가 이차함수 형태이면 \(\frac{d^2V}{dx^2}\)은 상수로 표현된다.

따라서, HO를 풀면 local minimum 혹은 global minimum을 가지는 potential system을 근사시킬 수 있다.

 

HO를 푸는 방법은 크게 2가지가 있다.

1. 미분방정식으로서 접근

2. 대수적 접근 

 

1은 Infinite potential 푸는 것 처럼 푸는 것인데 potential이 infinite potential보다 복잡하기 때문에

대수적 접근을 취하여 풀어보려고 한다.

여기서 대수적 접근이란 operator를 이용하여 풀어내는 것이다.

 

우선, \(k \equiv m\omega^2 \)으로 바꿔쓰자. 그러면 Hamiltonian은 다음과 같다.

$$H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\ x^2$$

Hamiltonian operator는 Energy의 차원을 가지고 있기 때문에 직접 다루기 부담스럽다.

이럴 때는 Dimensionless quantity로 만들어주면 편리하게 다뤄줄 수 있다.

Dimensionless로 만들기 위해 \(E = \hbar \omega\)로 나눠주자.

$$\frac{H}{\hbar \omega} = \frac{p^2}{2m \hbar \omega}+\frac{1}{2\hbar}m\omega\ x^2$$

$$=\frac{1}{2m\hbar\omega}(p^2+(m\omega x)^2)$$

$$=\frac{1}{2m\hbar\omega}((ip+m\omega x)(-ip+m\omega x)-im\omega([p,x]))$$

여기서 \([,]\)는 commutator이다. \([A, B] = AB-BA\)로 계산되고 주의할 것은 A, B는 일반적인 양이 아니라 operator라는 것에 주의해야한다.

operator는 일반적으로 교환법칙이 만족되지 않아서 commutator를 통해서 정리한다.

위의 관계를 간단하게 표현하기 위해서 치환의 과정과 \([p, x]\)가 어떤 값인지 알아야한다.

 

$$a^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega}}(-ip+m\omega x)$$

$$a=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega}}(ip+m\omega x)$$

여기서 \(a^\dagger\)는 creation operator 혹은 raising operator로 불리고 \(a\)는 annihilation operator 혹은 lowering operator라고 불린다. 왜 이렇게 불리는지 뒤에서 설명하겠다.

 

\([p, x]\)에 대하여 계산해보자. 일반적으로 operator라는 것은 함수에 적용시켜서 계산해야한다.

$$[p, x]f(x) = (px-xp)f(x)$$

$$=\frac{\hbar}{i} \ (\frac{d}{dx}xf(x)-x \frac{d}{dx}f(x))$$

$$[p, x]f(x) = -i \hbar f(x)$$

따라서, \([p,x] = -i \hbar\)이고 \([x,p] = i \hbar\)로서 쓰인다.

이런 관계는 Schrodinger equation처럼 양자역학을 설명하는 근본 물리량이다.

 

이제 dimensionless quantity를 정리해보자.

$$\frac{H}{\hbar \omega} =  a a^\dagger - \frac{1}{2}I$$

$$=a^\dagger a +\frac{1}{2}I$$

이를 통해 Hamiltonian은 다음처럼 표현된다

$$H =\hbar \omega (a a^\dagger-\frac{1}{2}I)$$

$$H= \hbar \omega (a^\dagger a + \frac{1}{2}I)$$

여기서 I는 identity operator이다.

 

그러면, \(a^\dagger \)와 \(a\)의 성질을 알면 Hamiltonian을 쉽게 다룰 수 있으므로 각 operators들의 특성과 관련된 Theorem을 정리하겠다. 

Theorem. 만약 \(H \psi = E \psi\)를 만족하면, \(a^\dagger \psi, a \psi\)의 eigenvalues는 \(E+\hbar \omega\), \(E-\hbar \omega\)를 만족한다.

위의 Theorem을 해석해보자.

 \(a^\dagger\)를 Hamiltonian의 eigenstate에 작용시키니까 Eigenenergy가 \(\hbar \omega\)만큼 올라갔다. 반대로 \(a\)를 Hamiltonian의 eigenstate에 작용시키니까 Eigenenergy가 \(\hbar \omega\)만큼 내려갔다.

이런 이유로 \(a^\dagger\)를 작용시키면 에너지가 올라가서 raising operator라고 부르고 \(a\)를 작용시키면 에너지가 내려가서 lowering operator라고 불린다.

 

이해하기 쉽게 qunatum number (n)을 도입해서 설명해보자.

그러면 \(H \psi_n = E_n \psi_n\)을 만족하고 \(a^\dagger \psi_n\)와 \(a \psi_n\)는 Hamiltonian의 eigenstate를 만족한다.

이를 수식으로 정리하면 아래와 같다.

$$H a^\dagger \psi_n = (E+\hbar \omega) a^\dagger \psi_n$$

$$\downarrow$$

$$H \psi_{n+1} = E_{n+1} \psi_{n+1}$$

 

$$H a \psi_n = (E-\hbar \omega) a \psi_n$$

$$\downarrow$$

$$H \psi_{n-1} = E_{n-1} \psi_{n-1}$$

 

여기서, quantum number (n)을 입자의 개수라고 생각해보자. 그러면 \(a^\dagger\)를 \(\psi_n\)에 작용시키니까 \(\psi_{n+1}\)이 된 것은 입자 개수가 n개에서 n+1개로 증가한 것으로 해석할 수 있다.

반대로, \(a\)를 \(\psi_n\)에 작용시키니까 \(\psi_{n-1}\)이 된 것은 입자 개수가 n개에서 n-1개로 감소한 것으로 해석할 수 있다.

이러한 이유로 \(a^\dagger\)는 creation operator 그리고 \(a\)는 annihilation operator라고 불린다.

 HO에서 potential energy은 위의 그림과 같은 형태를 가지므로 Eigenenergy는 끝 없이 위로 올라 갈 수 있을 것 같다. 하지만 potential energy에 최저점이 존재하므로 Eigenenergy의 ground state는 존재할 것이다.

그렇다면 \(\psi_n\)에 lowering operator (\(a\))를 n번 작용하면 ground state (\(\psi_0\))가 될 것이고 n+1 작용시키면 Energy는 0이될 것이다.

$$a \psi_0 = 0$$

$$\downarrow$$

$$\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega}}(\hbar \frac{d}{dx}+m \omega x) \psi_0 = 0$$

위의 미분방정식을 만족하는 해는 다음의 Gaussian function을 만족한다.

$$\psi_0(x) = A exp(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar})$$

\(E_0\)를 풀어보자.

$$H \psi_0 = E_0 \psi_0$$

$$\hbar \omega (a^\dagger a +\frac{1}{2}I)\psi_0 = E_0 \psi_0$$

$$\hbar \omega (a^\dagger a \psi_0+\frac{1}{2} \psi_0) = E_0 \psi_0$$

$$E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega $$

따라서 Ground state의 energy는 0이 아닌 \(\frac{1}{2} \hbar \omega\)이다.

이것은 HO의 potential로 표현되는 물리적 system은 ground state energy가 0이 아닌 \(\frac{1}{2} \hbar \omega\)를 뜻한다.

대표적으로 Phonon과 Photon이 이에 해당하는데 Phonon의 경우 0K에서도 진동하는 quantum fluctation이 일어나고 Photon의 경우 Vacuum state에도 photon의 파동함수가 존재하는 기이한 현상이 일어난다.

 

Ground state에 대해서 봤으니 일반적인 qunatum number (n)으로 일반화 시켜보자.

이를 위해 Ground state에 raising operator \(a^\dagger\)를 n번 적용시켜보자.

그러면 \(\hbar \omega\)씩 n번 올라갈 것이다.

따라서, n번째 상태에서 Eigenenergy는 다음과 같다.

$$E_n=\hbar \omega(n+\frac{1}{2})$$

여기에서 한발 더 나아가 Hamiltonian도 들여다 보자.

$$H \psi_n = E_n \psi_n$$

$$\hbar \omega (a^\dagger a +\frac{1}{2}) = \hbar \omega(n+\frac{1}{2}) \psi_n$$

따라서, \(a^\dagger a\)라는 operator는 \(\psi_n\)를 eigenstate로 하고 qunatum number (n)을 eigenvalue로 가지는 operator가 된다.

이런 이유로 \(a^\dagger a\)는 number operator라는 이름으로 불리고 편하게 \(a^\dagger a \equiv N\)으로 쓴다.

 

이제 \(a^\dagger \psi_n\)과 \(\psi_{n+1}\)의 관계와 \(a \psi_n\)과 \(\psi_{n-1}\)의 관계를 살펴보자.

전 영역에서 적분을 취함으로써 파동함수의 전 공간에 대한 면적이 1임을 이용하자.

$$\int_{-\infty}^{\infty}(a^\dagger \psi_n)^* (a^\dagger \psi_n) dx= \int_{-\infty}^{\infty}|c_n|^2 |\psi_{n+1}|^2 dx$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} (a a^\dagger \psi_n)^* \psi_n dx = |c_n|^2 $$

$$\int_{-\infty}^{\infty}(N+1)|\psi_n|^2dx = |c_n|^2$$

$$c_n = \sqrt{n+1}$$

 

$$\int_{-\infty}^{\infty}(a \psi_n)^* (a \psi_n) dx= \int_{-\infty}^{\infty}|d_n|^2 |\psi_{n-1}|^2 dx$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} (a^\dagger  a \psi_n)^* \psi_n dx = |d_n|^2 $$

$$\int_{-\infty}^{\infty}(N)|\psi_n|^2dx = |d_n|^2$$

$$d_n = \sqrt{n}$$

위의 관계를 보이기 위해 \((a^\dagger)^\dagger = a\), \([a, a^\dagger] = I\)와 \(\int_{-\infty}^{\infty}f^*(Ag)dx = \int_{-\infty}^{\infty} (A^\dagger f)^* g dx\)를 사용했다. (증명은 생략)

 

따라서, \(a^\dagger\)와 \(a\) operator가 \(\psi_n\)에 작용했을 때 관계는다음과 같다.

$$a^\dagger \psi_n = \sqrt{n+1} \psi_{n+1}$$

$$a \psi_n = \sqrt{n} \psi_{n+1}$$

 

위에서 구한 \(\psi_0\)에 \(a^\dagger\)를 적용시키면 1st excited state, 2nd excited state .. 등을 유도할 수 있다.

그리고 아래 보이는 그래프가 HO에서 전자 확률 분포를 나타낸다.

여기서도 Finite potential well 구조에서 구한 전자 확률분포에서 Barrier로 tunnealing이 일어나는 것을 확인할 수 있다.

여기서도 각 state 마다 파동함수가 서로 orthonormality를 만족한다.