Schrodinger Equation

 

Introduction

고전역학에서 물체의 운동은 Newton의 운동 방정식, Lageangina 함수, 혹은 Hamilton의 위상공간 중 하나를 사용하여 기술할 수 있다.

그렇다면, 양자역학에서도 이에 대응하는 방정식이 존재할까?

미시세계를 기술할 수 있는 방정식은Schrodinger equation, Heisenberg's equation of motion, 그리고 Feynmann's path integral 등이 있다.

 

이번 포스팅에서 다룰 주제는 Schrodinger equation이다.Schrodinger equation이 왜 근본 방정식으로 다뤄지는지에 대해서 이야기하려고 한다.

이번 포스팅 내용은 안도열 교수님의 '양자정보통신 기술의 핵심 양자역학'의 Chap.1의 내용을 많이 참고했다.

Main

1925년 de Brogile는 물질파를 주장했다.

 

$$ p = \frac{h}{\lambda}$$

 

물질파라는 것은 입자도 파장을 가질 수 있고 파동도 운동량을 가질 수 있다는 것이다.즉, 아주 작은 세계 다시 말해 미시 세계에서는 입자가 파동처럼 행동하고 파동은 입자처럼 해동한다는Wave-particle duality가 나타나는 것을 얘기한다.

 

즉, 빛이란 것도 파동(전자기장)으로서 해석될 수 있지만 입자(광자)로서 해석될 수 있고전자도 입자로서 해석될 수 있고 파동으로서 해석될 수 있다는 것이다.그리고, 전자에 대하여 double slit experiment를 한 결과는 간섭무늬가 측정된다.

 

우리가 인식하는 세상에서 물질이란 것은 파동 혹은 입자로 분류하여 설명할 수 있다.

그렇지만, 미시 세계에서는 Wave-particle duality에 의해서 입자와 파동의 성질을 둘 다 가지기 때문에

대상을 입자냐 혹은 파동이냐로 구분짓기 보다 통합된 어떤 것이라고 부르는 것이 좋을 것 같다.

 

미시세계에서 어떤 것의 거동은 입장와 파동으로서 만족해야하는어떤 원리를 동시에 만족해야할 것이다.

여기서 어떤 원리의 힌트는 고전역학에서 얻을 수 있다.

고전역학의 Hamilton's principle은 입자의 최소 작용에 대하여 논한다.

Hamilton's principle을 통해 얻어지는 Maupertius principle은 다음과 같이 표현된다.

 

$$\Delta \int dt\, 2T = 0 $$

 

 

여기서 T는 운동에너지에 해당한다.

위의  원리는 입자에 작용하는 최소 작용의 원리이다.

이것은 위의 그림에서 보이듯이 입자 경로는 항상 최소 작용으로 빨간 선을 따라서 이동한다는 것이다.

 

파동에게도 작용하는 최소 작용의 원리가 있는데, 바로 Ferma's principle이다.

빛과 같은 파동은 매질의 굴절률에 따라서 어떻게 이동할지 정해지고

빛은 항상 최단 경로로 가야한다는 원리를 말한다.

Ferma's principle는 다음의 식에 의해 기술할 수 있다.

 

$$ n = \sqrt{\epsilon \mu} = \frac{1}{v_\rho} $$

$$\delta \int ds\, n = \delta \int \frac{ds}{v_\rho}$$

 

미시 세계에 존재하는 전자나 원자는 위의 Maupertius principle과 Ferma's principle을 동시에 만족해야 한다.

위에 있는 그림을 보면서 생각해보자.

특정 경로를 지날 때, 입자는 Maupertius principle을 만족해야 하기 때문에 다음을 만족한다.

$$\Delta \int dt\, 2T = 0 $$

이때 입자가 궤적을 지날 때 속도는 \(v = \frac{ds}{dt}\)으로 표현할 수 있기 때문에 2T는 다음으로 표기가 가능하다.

$$ \begin{align} &2T = mv^2 = m(\frac{ds}{dt})^2 =2(E-V) \end{align}$$

위의 관계를 통하여 \(\frac{ds}{dt} = \sqrt{\frac{2(E-V)}{m}}\)이 얻어질 수 있다.

이 관계를 Maupertius principle에 대입하면 다음의 관계를 얻을 수 있다.

$$\delta \int dt \, \sqrt{2m(E-V)}\frac{ds}{dt} = \delta \int \sqrt{2m(E-V)}ds = 0$$

위의 관계가 입자의 최소 작용의 원리다.

 

이제 파동의 관점에서 최소 작용에 대응하는 Ferma's principle을 보자. 

$$\delta \int \frac{ds}{v_\rho} = 0$$

파동의 phase velocity는 Maupertius principle에서 얻어진 적분 관계식과 비교를 통해 유추할 수 있다.

$$\frac{1}{v_\rho} \propto \sqrt{2m(E-V)}$$

$$                        = \frac{C}{\sqrt{2m(E-V)}}$$

 = 관계를 만족시키기 위해 비례상수를 도입했다.

 

자 이제 \(E = h\nu, \omega = 2\pi\nu, v_\rho = \frac{\omega}{k}, v_g = \frac{d\omega}{dk}\)의 관계들을 다 이용하면 다음의 관계를 얻을 수 있다. $$ \frac{1}{v} = \frac{1}{v_g} = \frac{d}{dE} (\frac{E}{v_\rho})$$

 

\(v_\rho\)를 풀고 관계들을 정리하면 도입한 비례상수는 E임이 밝혀진다.

따라서, phase velocity와 group velocity는 다음과 같이 표현된다.

$$v_\rho = \frac{E}{\sqrt{2m(E-V)}}$$

$$v_g = \sqrt{\frac{2(E-V)}{m}}$$

입자의 운동량은 \(p = mv = mv_g = \sqrt{2m(E-V)}\)이기 때문에 \(v_\rho = \frac{E}{p} = \nu\lambda\)로 나타낼 수 있고 \(E = h \nu\)의 관계식 까지 적용한다면 다음의 de Brogile의 matter wave가 도출된다.

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

 

즉, 입자와 파동에 해당하는 최소 작용의 원리를 적용하니까 matter wave가 자연스럽게 도출된 것이다.

여기서 한발짝 더 나아가, Wave equation에 적용해보자.

$$\nabla^2 \Psi -\frac{1}{v_\rho^2}\, \frac{d^2}{dt^2} \Psi = 0$$

시간에대한 해는 plane wave로 기술하면 다음처럼 정리될 수 있다.

$$\nabla^2 \Psi -\frac{\omega^2}{v_\rho^2} \Psi = 0$$

\(E = \hbar \omega, v_{\rho} = \frac{E}{\sqrt{2m(E-V)}}\)관계를 이용하면 위의 Wave equation은 다음과 같다.

$$\nabla^2 \Psi -\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}\Psi = 0$$

이제 이 식을 정리하면 우리가 알고 있는 Schrodinger equation이 도출된다.

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + V \Psi = E \Psi$$

 

즉, Schrodinger equation이란 Wave-particle duality를 기반으로 입자와 파동의 두 최소 작용의 원리를 적용하여 얻어진 결과물이라 할 수 있다.

Schrodinger equation은 미분방정식으로 표현되기 때문에, Heisenberg의 행렬역학보다 기술이 보다 단순하다는 장점을 가진다.

또한, 도출되는 원리가 명확하기 때문에 받아들이기 좋다.

따라서, 우리가 양자역학을 처음 배울 때 Schrodinger equation을 다루기부터 시작하는 것 같다.

 

Schrodinger equation을 보면 운동에너지에 대응하는 Laplacian은 고정되어 있고 Potential energy에 따라서 결과물이 달라진다.

따라서, 물질을 이루는 System은 potential energy에 따라서 달라진다.

학부 수준의 양자역학 교과서에서는 potential energy에 따른 해를 직접 구하는 연습을 한다.

예를 들면, infinite potential well, finite potential well, delta function, free particle, harmonic oscillator, H atom이 대표적이다.

각 System을 풀면서 얻게되는 insights이 있는데 이것은 추후에 다루기로 하겠다.

 

수식을 정리하면서 생각보다 양이 많아서 다 적지 못했다.

수학적인 세부사항이 궁금한 사람들은 포스팅 도입부에 말한 책을 사서 보는 것도 많은 도움이 될 것 같다.

양자역학을 길지 않고 명확하게 정리되어 있어 공부하는데 많은 도움이 되고 있다.